Ejercicios: órbitas, estaciones, fases y eclipses

Criterios: 2.2, 4.1, 4.2, 5.1

Datos: GM(Tierra) = 3,9860 × 10¹⁴ m³ s⁻² (NASA); radio medio terrestre, 6371 km (para órbitas inclinadas, como la de la Estación Espacial); radio ecuatorial, 6378 km (para satélites sobre el ecuador o de período fijo, como el ejercicio 3); 1 au = 149 597 870 700 m (exacta, IAU 2012); inclinación del eje, 23,44°; perihelio, 147,095 × 10⁶ km; afelio, 152,100 × 10⁶ km (NASA). Para los planetas, con T en años y a en au: T² = a³.

Ejercicios

1. Tercera ley de Kepler en el sistema solar. a) Marte está a 1,524 au del Sol. Calcula su período en años y en días, y compáralo con el valor de la NASA, 687,0 días. b) Júpiter tarda 11,86 años en dar una vuelta al Sol. ¿A qué distancia está, en au? c) ¿Por qué la constante de la ley es la misma para todos los planetas?

2. La Estación Espacial Internacional. Orbita a unos 420 km sobre la superficie. Calcula su período en minutos y cuántas vueltas da a la Tierra en un día. Haz el análisis de unidades.

3. Satélites GPS. Los satélites del sistema GPS dan dos vueltas a la Tierra por cada día sidéreo, así que su período es de 43 082 s. Calcula el radio de su órbita y su altura. Comprueba el resultado con la órbita geoestacionaria (42 164 km) usando solo la proporción de la tercera ley.

4. Ley de Hubble-Lemaître. a) ¿A qué velocidad se aleja una galaxia situada a 100 Mpc, si H₀ = 67,4 km s⁻¹ Mpc⁻¹? b) Repite el cálculo con H₀ = 73,04 km s⁻¹ Mpc⁻¹. c) Un compañero dice que uno de los dos valores «está mal calculado». ¿Qué le responderías?

5. Las estaciones en Madrid (φ = 40,42° N). a) Calcula la altura del Sol al mediodía en los dos solsticios y en los equinoccios. b) ¿Cuántas veces más energía llega por metro cuadrado de suelo horizontal al mediodía del solsticio de junio que al del de diciembre? (Proporcional a sen h; ignora la atmósfera.) c) Compara ese factor con el efecto de la distancia al Sol entre el perihelio y el afelio. d) ¿Qué sombra da un palo vertical de 1,50 m al mediodía de un equinoccio?

6. Mes sidéreo y mes sinódico. La Luna da una vuelta respecto a las estrellas en 27,3217 días. Calcula el tiempo entre dos lunas llenas con 1/T_sin = 1/T_sid − 1/T_año (T_año = 365,256 días) y explica con un dibujo por qué es más largo.

7. Fases y eclipses. Di si es verdadero o falso y corrige las falsas: a) Puede haber un eclipse de Luna en cuarto creciente. b) La fase de cuarto menguante se debe a que la sombra de la Tierra tapa la mitad de la Luna. c) No hay eclipses todos los meses porque la órbita de la Luna está inclinada respecto a la de la Tierra. d) Un eclipse de Sol puede ocurrir en luna llena. e) La Luna gira sobre sí misma.

8. Eratóstenes y las cifras. Según Cleomedes, el ángulo de la sombra en Alejandría era 1/50 de circunferencia y la distancia a Siena, 5000 estadios. a) Calcula la circunferencia en estadios. b) Pásala a kilómetros suponiendo que el estadio medía 157,5 m y, después, 185 m. Compara con 40 000 km. c) ¿Se puede afirmar con qué porcentaje de error midió Eratóstenes la Tierra? Justifícalo.

9. Ciencia colectiva. En unas 10 líneas, explica qué aportaron Henrietta Swan Leavitt y Georges Lemaître al descubrimiento de la expansión del universo y por qué la IAU recomendó en 2018 cambiar el nombre de la ley de Hubble. Usa al menos una fuente primaria o institucional y cítala.